Triangelserien

En rätvinklig triangel med sidlängderna a, b och c har följande egenskaper:

a <= b b < c

D.v.s. c är hypotenusa och a är den kortaste sidan, om det finns någon sådan. Från hörnet mitt emot hypotenusan dras den vinkelräta höjden mot hypotenusan. Denna höjd delar triangeln i två delar. Upprepa samma procedur med den större av de två deltrianglarna, d.v.s. dra den lodräta höjden mot hypotenusan. Upprepa denna procedur i all oändlighet, vilket gör att de höjder som dras blir kortare och kortare. Beräkna längden av alla de höjder som ritats.

Knepiga treor

Bevisa att tiotalssiffran i talet 3ⁿ alltid är jämn om n är ett positivt heltal som är större än, eller lika med 3.

Biografen

När den nya biografen öppnade tog man 40kr. i inträde. Var tionde besökare fick gå in gratis, och var hundrade fick dessutom 1000kr. Sammanlagt fick man in 84000kr. Hur många besökare hade biografen under den första kvällen?

Metallarbetaren och Skalbaggen

En metallarbetare har en kvadratisk plåt med sidan 40cm. Han böjer plåten på ett sådant sätt att han får en rektangulär ränna, som är 2cm. djup och 6cm. bred.

Rännan har enbart räta vinklar, och långsidorna är parallella med kvadratens sidor. Nu är det så att en skalbagge sitter i det nedre vänstra hörnet på plåten, men skalbaggen vill ta sig till övre högra hörnet. Bestäm den kortaste vägen som skalbaggen kan behöva gå.

Kvadrat och lika siffror

Ett fyrsiffrigt heltal har följande egenskaper:

1. Talet kan skrivas på formen aabb, där a tillhör heltalen [1..9] och b tillhör heltalen [0..9]
2. Talet är en jämn kvadrat

Bestäm alla möjliga sådana tal.

Två kvadrater

Bestäm alla naturliga tal x och y så att x² + y² = 1997

Färjetrafik

Mellan två städer, Milazzo och Lipari, går det färjor regelbundet. Klockan 11 startar färja A från Milazzo, samtidigt som färjorna B och C är på väg från Lipari. Klockan 12 möts A och C, och en timme senare möts A och B. När färjorna når den motsatta hamnen vänder de omedelbart och fortsätter tillbaka samma väg, och vändningstiden försummas. Klockan 16 hinner B upp C och klockan 18 möts A och B på nytt. Vid denna tidpunkt är avståndet till C 7,2 km. Färjorna antas hålla konstanta hastigheter. Frågan är nu, hur långt är det mellan Milazzo och Lipari?

Parallellogramproblem

I parallellogrammet ABCD är |AB|=|BD|. Visa under denna förutsättning att |AD| / |AC| < (2/3).

Följd av siffror

Samtliga heltal mellan 1 och 1000 skrivs upp efter varandra enligt, 12345678910...9991000. Stryk siffra för siffra från vänster tills du har ett tal som börjar med 3 stycken nior. Hur många siffror har du då strukit?

Cykelturen

En person cyklar en given sträcka och sedan tillbaka samma väg. Vägen går omväxlande uppför, nedför och rakt fram. Personen håller 16km/h på rak väg, 24km/h nedför och 12km/h uppför. Hela turen tar tre timmar. Hur långt cyklar personen?

Knepig volym

Med hjälp av 4 stycken liksidiga trianglar, var och en med sidlängden a, bildar man en tetraeder. Hur stor blir dess volym?

Cirklarna och Triangeln

I en cirkel med minsta möjliga area inskrivs en liksidig triangel med sidlängd a. Därefter inskrivs största möjliga cirkel i triangeln. Bestäm förhållandet mellan den större och den mindre cirkelns areor.

Sommarjobbet

Åsa, Ylva och Östen har som sommarjobb att måla planket som omger fotbollsplanen där de bor. Åsa klarar av att måla 4m per timme, medan Ylva målar 25% snabbare. De tre har bestämt en tid då de ska träffas för att inleda arbetet, och detta är just vad Åsa och Ylva gör. De träffas på utsatt tid och börjar måla, medan Östen, som försovit sig, dyker upp först 5 timmar senare. Detta gör att arbetet tar 2 timmar längre än beräknat. Frågan lyder nu, Hur snabbt målar Östen, och hur mycket skulle arbetet ha blivit försenat om istället Åsa hade kommit 5 timmar försent?

Heltalsbevis

Bestäm alla positiva heltal x och y sådana att SQRT(x) - 2 * SQRT(y) = SQRT(3)

Klurigt värre

Visa att SQRT(3) alltid ligger mellan a / b och (a + 3b) / (a + b) hur man än väljer de positiva heltalen a och b.

Avståndet i cirkeln

Kan det finnas två punkter på enhetscirkelns periferi sådana att avståndet mellan dem är 1 och koordinaterna för båda punkterna är rationella?

Läraren berättar

En lärare sade en gång till sin klass att produkten av åldern på hans tre barn var 96. Han berättade även att summan av barnens ålder var lika med numret på den sal som klassen befann sig i. Efter en stund säger en av eleverna att det inte går att lösa med den informationen. Läraren tillägger då att två av barnen går i skolan. Nu lyckas eleverna lösa uppgiften. Klarar du det?

Två trianglar

En rätvinklig triangel har kateter med längderna a och 2a. I denna triangel dras den vinkelräta höjden mot hypotenusan, och vidare ut från hypotenusan lika långt som höjdens längd innan den korsade hypotenusan. Från denna punkt ovanför hypotenusan dras en linje som blidar en rät vinkel mot sidan med längden 2a. Beräkna arean, utryckt i a, på den del som är gemensam för båda trianglarna.

Ståltråden

En ståltråd med längden 1 kapas i två delar. Av den ena delen böjs en cirkel, och av den andra böjs en kvadrat. Bestäm kvadratens sida då summan av cirkelns och kvadratens areor är Maximal och Minimal.

Halvcirkelbeviset

Som du antagligen känner till så gäller det att om man i en halvcirkel inskriver en triangel med hypotenusan längs diametern och låter vinkeln mot hypotenusan ligga på halvcirkelns periferi så är denna vinkel rät. Kan du bevisa det?

Stjärnan och Fibonacci

Fibonaccis talföljd defineras enligt följande:

• F₀ = 0
• F₁ = 1
• F_n = F_n-1 + F_n-2, n >= 2

Om man nu har en liksidig femhörning, i vilken man inskriver en stjärna, så har man en pentagramliknande symbol. Om man nu vänder stjärnan så att man har en spets rakt uppåt, så har man följande:

1. Hörnet B är det översta hörnet.
2. Hörnet till vänster om hörnet B är hörnet A.
3. De tre hörnen till höger om hörnet B är i turordning C, D och E
4. Skärningspunkten mellan linjerna AD och CE betecknas X
5. Längden av en godtycklig sträcka XY betecknas |XY|

Med hjälp av dessa givna fakta bevisa nu att:
|AC| / |AX| = lim(n -> INF) F_n / F_n-1

Kon i Klot

I ett klot med radien r inskrivs en kon så att denna har maximal volym. Bestäm förhållandet mellan konens och klotets volymer.

Klot i Kon

Ett klot med radien r innesluts i en kon med minimal volym. Bestäm förhållandet mellan konens och klotets volymer.

Pyramiden

Ur ett kvadratiskt papper med sidlängd a klipps fyra, lika stora, likbenta trianglar. En triangel från varje sida klipps ut, och basen i var och en av de urklippta trianglarna har längden a.

Den återstående delen av papperet viks ihop till en pyramid. Bestäm pyramidens maximala volym.

Bilturen

Anna, Bertil och Cilla färdas i var sin bil, var och en med en konstant hastighet, längs E4-an söderut från Umeå. Cilla startar först, därefter Bertil och Anna sist. Anna kör dock fortare än de övriga, medan Cilla är långsammast. Klockan 12:00 blir Bertil omkörd av Anna och 12:30 blir Cilla omkörd av Bertil. Något senare tar Anna en kvarts paus vid en rastplats. När 5 minuter av pausen har gått passerar Bertil i sin bil och efter ytterligare 5 minuter passerar även Cilla. När pausen är slut ger sig Anna av och hinner ifatt Cilla efter 10 minuters körning. Vad är klockan när Anna hinner ifatt Bertil?

Konferenslunch

Sara befinner sig på matematikkonferens. Konferensen varar i 12 veckor och Sara träffar sju bekanta på konferensen. Under konferensen äter Sara lunch med var och en av de bekanta 35 gånger, varje par av dem 16 gånger, varje trio 8 gånger, varje kvartett 4 gånger, varje kvintett 2 gånger och varje sextett av dessa 1 gång. Om Sara äter lunch varje dag under konferensen, äter hon någon gång ensam?

Svaren hittar Du här